Teses

A noção de matróide constitui uma generalização amplamente estudada do conceito de independência linear de vectores. A presente monografia lida com uma classe estritamente mais ampla de complexos simpliciais cujos elementos admitem uma representação através de uma matriz com entradas no semi-anel booleano, daí serem designados booleanamente representáveis. Começamos por introduzir os conceitos de representação de um complexo simplicial através de uma matriz (booleana) e através de um reticulado; mostramos que, mediante certas condições estes conceitos são equivalentes; e apresentamos formas canónicas de ambos os tipos de representação.

De seguida introduzimos duas possibilidades para quantificar distâncias entre complexos simpliciais booleanamente representáveis que se baseiam na existência de um tipo particular de matrizes booleanas (ditas 1-completas). Estas noções de distância motivaram as questões principais discutidas neste trabalho: obter uma caracterização dos complexos simpliciais que admitem representações booleanas 1-completas alternativas com conjuntos de linhas disjuntos; obter majorantes para a distância entre matróides uniformes.

Palavras-Chave: Complexo Simplicial, Complexo Simplicial Booleanamente Representável, Matróide

The aim of this thesis is to construct rings that are primitive on only one side, following the articles [5] and [6] by Ronald S. Irving as our main source. For the skew polynomial ring over the polynomial ring in one variable over an algebraically closed field of characteristic 0, we give a complete description of the conditions for both right and left primitivity. In particular, we describe all the rings of this type that are primitive on only one side and provide some concrete examples. Furthermore, we show that a certain subring of the skew polynomial ring over the field of rational functions is right primitive but not left primitive. This example was constructed by George M. Bergman in [1].

Keywords: Algebra; ring theory; primitive rings; faithful simple modules; skew polynomial rings.

Group representation theory is one of the most central and far reaching branches of group theory, with applications in Physics, Computer Science, Chemistry and most areas of Mathematics, including combinatorics, topology and algebraic geometry. After revising, in a self-contained fashion, the essentials of the representation theory of finite groups over the complex numbers, we focus our attention on the ideas of Schur-Weyl duality, a method devised by I. Schur and popularized by H. Weyl in his book [14] to obtain the finite dimensional irreducible polynomial representations of the infinite group GL(V ) of invertible linear transformations on the finite-dimensional vector space V , in terms of the irreducible representations of the family of symmetric groups Sk, for k > 0.

To achieve this, we first develop, in a concise way, the representation theory of the symmetric groups over the complex numbers, and then approach Schur-Weyl duality via the Double Centralizer Theorem, in the spirit of [13].
In the last chapter of the thesis, we present an interpretation of Schur-Weyl duality in terms of the combinatorics of random walks on certain graphs, known as the representation graphs associated to a chosen representation of a group G. This is based on the recent paper [2].

Ore extensions provide a way of constructing new algebraic objects from preexisting ones, by adding a new indeterminate subject to commutation relations. Hopf algebras are algebras which possess a certain additional dual structure. In this thesis, we study a characterization under certain conditions of the Hopf algebra structures on Ore extensions of Hopf algebras, following articles by Panov and by Brown, O’Hagan, Zhang and ZHuang. The notion of double Ore extension is a generalization of Ore extension recently introduced by Zhang and Zhang. We address the problem of determining which are the double Ore extensions of a field that have a Hopf algebra structure. This problem is related to the problem of extending a Hopf algebra structure to a double Ore extension. We split the possible and not possible cases with respect to the data that determines the double Ore extension. 

In this thesis we study arithmetic functions, the Mellin transform and the Riemann zeta function and we introduce a new family of classes of functions where we investigate what we call arithmetic transforms. Then we use our investigation of arithmetic transforms to demonstrate two classical formulas, deduced by Mu ̈ntz and Poisson, valid for functions in the classes we introduce, making proofs that can be generalized to deduce new formulas and we also exhibit some formulas similar to the Müntz formula. 

This dissertation deals with a conjecture proposed in 1979 by Péter Frankl related to union-closed families of sets. It has been widely studied by several mathematicians from all around the world. There are many papers on the topic and several websites dedicated to its study. Despite the fact that the conjecture regards finite union- closed families of sets, which appear to be very simple objects, very little is known about them. We try to present in detail the main tools people have been using too approach the problem and unveil a little bit of the mystery behind these families. 

Numerical semigroups are submonoids of the nonnegative integers monoid, under the addition. Despite being really simple structures, they present challenging problems.
The study of some properties and the solution of problems in this structures helps, in many cases, in the study of more complex structures, namely by the examples given by them.

Numerical semigroups are domains in which factorization is not unique. Topics in fac- torization problems are worth mentioning in this dissertation. We highlight the study of the catenary degree and the tame degree, both defined by means of distances between factorizations.

A numerical semigroup can be equipped with a partial order, that extends the usual order of the nonnegative integers. The Mo ̈bius arithmetic function can be generalized to partially ordered sets. The consideration of the Mo ̈bius function associated to partially ordered sets obtained from numerical semigroups through the mentioned order is another topic in this thesis.

In the above mentioned topics special attention is given to the case of arithmetic numeri- cal semigroups, which are generated by arithmetic progressions.
Numerical semigroups can be identified through positive integers that do not belong to them, which are called gaps. The last topic discussed in this dissertation concerns with the problem of counting numerical semigroups with the same number of gaps. 

O algoritmo de Aubry é um procedimento que permite obter soluções inteiras das equações de circunferências da forma x^2 + y^2 = n, para alguns naturais n, a partir de soluções racionais. Este algoritmo permite estabelecer uma correspondência entre os pontos racionais dessas circunferências com as decomposições de n em somas de dois quadrados.

Dois pontos da circunferência que correspondem à mesma decomposição dizem-se pertencer à mesma classe Aubry. Formalizando a noção natural de medida dessas classes, foram criados testes computacionais para tentar estimar as suas medidas.
Os testes foram aplicados em circunferências com exactamente duas classes de Aubry, tendo os resultados mostrado que nenhum dos testes analisados é fidedigno para estimar as medidas dessas classes, o que não deixa de ser interessante, pois é um resultado em si mesmo bastante misterioso. 

A álgebra dos quaterniões contém dois anéis de particular interesse de um ponto de vista aritmético, os inteiros de Lipschitz e os inteiros de Hurwitz. Estes conjuntos têm naturalmente uma estrutura de anel, que inclui algumas noções aritméticas com propriedades curiosas, como a divisão e o algoritmo de Euclides, com versões à esquerda e à direita resultantes da não comutatividade da multiplicação.

Usando a aritmética dos inteiros de Hurwitz apresenta-se uma prova de que todo o natural é uma soma de quatro quadrados. Expõem-se alguns resultados sobre factorização de quaterniões, como uma certa forma de fatorização única, que descreve as diversas fatorizações que um inteiro de Hurwitz admite. Apresentam-se resultados de G. Pall sobre a unicidade de divisores de norma dada de um quaternião, que dão informação adicional sobre essas fatorizações. A finalizar, descreve-se o problema da metacomutação salientado por Conway e Smith, e apresenta-se um resultado recente de H. Cohn e A. Kumar sobre este problema, assim como alguns exemplos que evidenciam que este contém um erro numa parte do seu enunciado.

A reconstrução filogenética é uma área de estudo multidisciplinar onde se juntam a matemática, a biologia e as ciências da computação para permitir construir a árvore evolutiva de um conjunto de objetos biológicos a partir de relações conhecidas entre eles. Do ponto de vista matemático, a estes objetos biológicos vão corresponder os elementos de um conjunto X que estarão em correspondência com os vértices de grau um, ditos folhas, de um certo grafo, dito X-árvore filogenética.

Nesta dissertação são tratados resultados recentes obtidos por Dress, Huber e Steel, publicados em [4] e [5] que permitem lidar com restrições impostas pelos dados existentes para fazer a reconstrução filogenética. Definem-se e caraterizam-se certos conjuntos de pares de folhas de uma X-árvore filogenética, ditos lassos, que permitem reconstruir a árvore. Associa-se uma estrutura combinatória, um matróide, a uma X-árvore. Esse matróide está definido no conjunto de pares de folhas da árvore e mostra-se que as suas bases são os lassos minimais que permitem reconstruir a árvore.

Nesta dissertação, apresentamos e demonstramos uma versão do Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets para espaços de Lebesgue. Seguimos uma tradição de provas iniciada por M. Raghunathan que explora o Teorema Ergódico Subaditivo de Kingman, o qual também apresentamos e demonstramos. Pelo meio, analisamos o Teorema de Furstenberg-Kesten visto como um corolário do último e uma forma seminal do primeiro.

Na Teoria dos Anéis estudam-se várias classes de anéis com propriedades interessantes, os anéis simples e os anéis semisimples, os anéis primos e os anéis semiprimos. Esta tese foca-se sobre uma classe de anéis chamados anéis primitivos, que são anéis que possuem um módulo simples e fiel; esta tese tem como objectivo estudá-los e aprofundar várias das suas propriedades. Nesta tese será também estudado o Teorema da Densidade, que está bastante relacionado com os anéis primitivos e que tem inúmeros corolários que pretendemos aprofundar.